핵의학물리 3) 방사능 및 반감기

3) 방사능 및 반감기

(1) 방사능(Radioactivity)

방사능이란 방사성 붕괴를 일으키는 정도를 말하는 것으로 단위시간당 얼마만큼의 방사성 붕괴가 일어나는지를 정량적으로 나타낸다.

 

방사능은 방사성동위원소 수에 비례한다. 예를 들어 방사성동위원소 N개를 가진 표본을 가정하면 시간당 표본 내 방사성 붕괴를 일으키는 원소의 수는 표본 내 방사성동위원소의 수에 비례한다. 방사성 붕괴를 했다고 하는 것의 의미는 방사성동위원소가 이미 다른 원소로 천이했다는 것을 의미하는 것으로, 표본 내 방사성동위원소의 수를 줄이는 반응이 된다. 그러므로 이 반응을 아래와 같이 나타낼 수 있다.

ΔN/Δt = λN

좌변의 의미는 일정한 시간(Δt) 내 붕괴하는 방사성동위원소의 수, 즉 방사능을 의미하고 우변은 이 방사능이 표본 내 방사성동위원소의 수에 비례한다는 것을 보여주고 있다. 또한 이들 사이의 비례상수인 λ는 붕괴상수(decay constant)라고 한다. 좀 더 미시적 시간 관점으로 보면 위 식은 아래와 같이 표현할 수도 있다.

dN/dt = λN

즉, 방사성동위원소의 시간당 변화율은 방사성동위원소의 수에 비례하며 이때의 비례상수는 붕괴상수로 표현된다는 것이다. 위 식을 미분방정식을 이용해 풀면, 샘플 내 처음에 존재했던 방사성동위원소의 수를 N0라고 하면 t라는 시간이 지났을 때 남아 있게 되는 방사성동위원소의 수를 N(t)라고 할 때 다음과 같은 해를 얻을 수 있다.

N(t) = N0e^-λt

방사능은 방사성동위원소의 수에 비례상수 λ를 곱해줌으로써 얻어질 수 있다. 그러므로 시간에 따른 방사능은 아래와 일치한다.

A(t) = λN(t) = λN0e^-λt = A0e^-λt

초기 방사능을 A0라고 한다면 t시간이 지난 이후의 방사능은 A(t)가 된다. 두 식에서 모두 지수함수가 초기 방사성동위원소의 수, 초기 방사능에 곱해져 있는데, 이는 지수함수적으로 이들의 값들이 감소한다는 것을 의미한다. 이미 위에서 설명했듯이 방사능을 나타내는 단위로는 국제 표준이 정하는 베크렐(Bq)이라는 단위가 있으며 고전적으로는 큐리(Ci)라는 단위도 사용된다. (1 mCi = 37 MBq)

 

(2) 반감기

반감기란 방사성동위원소의 수가 처음의 1/2로 감소되는데 걸리는 시간을 의미한다. 반감기는 위에서 구한 해로부터 쉽게 유도될 수 있다. 반감기를 나타내는 시간을 T1/2로 표현하고 반감기가 지난 이후 남아있는 방사성동위원소의 수는 1/2N0이 되므로 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

1/2N0 = N-e^-λT1/2

위 식을 풀면,

T1/2 = ln2/λ

즉, 반감기는 붕괴상수의 역수에 비례하며 이들 사이의 비례상수느 ln2(약 0.693)가 된다. 반감기 외에도 자주 쓰이는 용어로 평균생존시간(average lifetime)이 있는데, 이는 붕괴상수의 역수(1/λ)를 일컫는다.